советский композитор. Брат писателя Вениамина Каверина. Родился в еврейской семье, став пятым ребёнком. В 1910 году был зачислен в Псковскую мужскую гимназию. После немецкой оккупации Пскова в 1918 году, дабы избежать мобилизации, нелегально перешёл линию фронта и перебрался в Петроград. В 1919 году переехал в Москву вслед за матерью и братьями Давидом, Львом и Вениамином (будущим писателем Вениамином Кавериным). В Москве поступил на физико-математический факультет Московского университета, однако почти сразу же бросил учёбу.
Благодаря домашним занятиям на фортепиано Зильбер устроился тапёром в кинотеатр. Принимал участие в качестве пианиста и аккомпаниатора в деятельности творческого объединения «Синяя блуза». Был знаком с молодой певицей Лидией Руслановой, которая посоветовала музыканту взять псевдоним Ручьёв. С 1922 по 1925 годы обучался в Музыкальном училище имени Гнесиных по классам композиции и фортепиано, с 1926 по 1929 — в Ленинградской консерватории (сейчас Санкт-Петербургская консерватория имени Н. А. Римского-Корсакова) по классу композиции Владимира Щербачёва.
В 1927—1930 годах был музыкальным руководителем и дирижёром Ленинградского Красного театра (в настоящее время — театр «Балтийский дом»), в 1928—1931 — Театра имени Ленинского комсомола в Ленинграде (в настоящее время также входит в состав «Балтийского дома»). В 1935 году переехал в Алма-Ату, где в 1937—1938 годах был музыкальным руководителем Казахской государственной филармонии имени Джамбула. С 1942 по 1944 годы заведовал музыкальной частью Ойротского национального театра в Горно-Алтайске. В 1946 году вернулся в Москву.
Проживая в Алма-Ате, Александр Зильбер принимал активное участие в становлении казахской академической музыки. Его перу принадлежит симфония «Обновлённый Казахстан» — первая симфония, основанная на национальных казахских мелодиях. Также им был сделан ряд обработок казахских народных песен для голоса и фортепиано. Автор ряда опер: «Жиль Блаз» по одноимённому роману Алена Лесажа (1936), «Бекет», либретто Мухтара Ауэзова по собственной поэме (1940), «Василий Тёмный» на собственное либретто (1946), «Капитан Гастелло» на собственное либретто (1954). «Машенька» на собственное либретто по мотивам пьесы Александра Афиногенова (1958). В 1920-е годы писал музыку к спектаклям Красного театра. В 1930-е стал автором двух музыкальных комедий: «Роман и Юлия» (1936) и «Как её зовут» (1938).