ПЕАНО Джузеппе

19.02.2011 Мартыненко Ольга

О кривой Пеано: Есть такой известный детский фокус. Фокусник берет треугольный листок бумаги, делает на нем надрез ножницами, сгибает листок по линии надреза пополам, делает еще один надрез, опять сгибает, надрезает последний раз, и - ап! - в его руках оказывается гирлянда из восьми треугольничков, каждый из которых совершенно подобен исходному, но в восемь раз меньше его по площади (и в корень квадратный из восьми раз - по размерам). Возможно, этот фокус показали в 1890 году итальянскому математику Джузеппе Пеано (а может быть, он сам любил его показывать), во всяком случае, именно тогда он заметил вот что. Возьмем идеальную бумагу, идеальные ножницы и повторим последовательность надрезания и складывания бесконечное число раз. Тогда размеры отдельных треугольничков, получаемых на каждом шаге этого процесса, будут стремиться к нулю, а сами треугольники стянутся в точки. Стало быть, мы получим из двумерного треугольника одномерную линию, не потеряв при этом ни кусочка бумаги! Если не растягивать эту линию в гирлянду, а оставить такой "скомканной", как у нас получилось при разрезании, то она заполнит треугольник целиком. Более того, под каким сильным микроскопом мы бы ни рассматривали этот треугольник, увеличивая его фрагменты в любое число раз, получаемая картина будет выглядеть точно так же, как неувеличенная: выражаясь научно, кривая Пеано имеет одинаковую структуру при всех масштабах увеличения, или является "масштабно инвариантной". Итак, изогнувшись бесчисленное множество раз, одномерная кривая смогла как бы приобрести размерность два. Значит, есть надежда и на то, что менее "скомканная" кривая будет иметь "размерность", скажем, полтора. Но как же найти способ измерять дробные размерности? http://www.znanie-sila.ru/online/issue_94.html