один из первых педиатров России, доктор медицины, основатель и первый профессор кафедры детских болезней Императорской Военно-медицинской академии, основатель Санкт-Петербургского Общества детских врачей, почётный лейб-педиатр Двора Его Императорского Величества; консультант больницы при Покровской общине сестер милосердия, почетный попечитель и консультант лечебницы при Обществе попечения о бедных и больных детях («Синий крест»).
Родился в семье адъюнкт-профессора кафедры анатомии Московской медико-хирургической академии Ивана Семеновича Быстрова(1813- ?) и Людмилы Сергеевны Яхонтовой, дочери надворного советника. К окончанию гимназии он неплохо владел французским, немецким, польским и латинским языками. С завершением среднего образования, в 1857 г. Н. И. Быстров поступил на 1-й курс медицинского факультета Московского университета. Будучи студентом первого курса, в 1858 г. он принял участие в студенческих волнениях, обусловленных действиями профессора Н. А. Варнека, который, по мнению студентов, на своих лекциях неоднократно оскорблял их патриотические чувства и национальное достоинство. В этой «варнековской истории» Н. И. Быстров, выбранный депутатом от студенчества, оказался среди тех 17-ти учащихся, которые были отчислены из университета. Вынужденный покинуть Москву, переехал в Санкт-Петербург, где в 1864 году. с золотой медалью окончил Военно-медицинскую академию.
Следующие три года в качестве врача академии работал ординатором в детской клинике кафедры акушерства, руководимой сначала с А. Я. Крассовским, а с 1865 г. — В. М. Флоринским. В мае 1867 г. для ознакомления с состоянием медицинской помощи больным детям Н. И. Быстров на личные средства с «научной целью» был командирован за границу. В Берлине он работал в лаборатории фармакологического института Оскара Либрейха, где выполнил исследования, ставшие основой его будущей диссертации.
Вернувшись в 1869 году на родину, в том же году защитил диссертацию на степень доктора медицины: «Действие ammonii bromati на животный организм и терапевтическое употребление его в детской практике». По существу, эта работа оказалась не только одной из первых диссертаций по педиатрии, но и первым отечественным исследованием по клинической фармакологии в педиатрии.
Вскоре после защиты Н. И. Быстровым диссертации, профессор В. М. Флоринский (акушер по специальности), читавший слушателям академии лекции по детским болезням, 3 октября 1870 г. ходатайствовал перед Конференцией Академии поручить чтение лекций и руководство детской клиникой приват-доценту Н. И. Быстрову. Просьба была удовлетворена, этому событию предшествовали изменения, внесенные 15 июля 1869 г. в Устав Академии. Согласно им впервые в России педиатрия была отделена от акушерства и гинекологии в качестве отдельного предмета «Детские болезни с практическими занятиями в академической клинике». 1 января 1874 г. детская клиника была переведена в новое здание на территории Михайловской больницы баронета Я. В. Виллие и расширена до 20 коек. Формально, ещё 6 лет кафедрой и клиникой продолжал руководить профессор В. М. Флоринский, и только в 1876 году Н. И. Быстров был утвержден в должности адъюнкт-профессора и теперь уже официально возглавил кафедру детских болезней. Экстраординарным профессором он стал еще через 14 лет, в 1890 г., а ординарным и заслуженным ординарным профессором — в 1895 году.
Став профессором кафедры, Н. И. Быстров добился, чтобы Конференция Академии «имея в виду важное значение обязательного изучения детских болезней» постановила ввести в экзамен выпускников на звание лекаря обязательное испытание по детским болезням. С конца 80-х годов Н. И. Быстров помимо официального курса занятий в детской клинике организовал бесплатные доцентские курсы (приват-доцентов В. Ф. Якубовича, М. Д. Ван-Путерена, И. И. Лебединского, Д. А. Соколова, Н. П. Гундобина). Эти курсы существенно дополняли обязательный курс, Они проводились в различных амбулаториях и стационарах Санкт-Петербурга и значительно расширяли круг больных детей, которых могли видеть студенты.
В ноябре 1896 г. по выслуге лет Н. И. Быстров покинул кафедру и клинику детских болезней, которыми руководил более 20-ти лет её становления. За эти годы в клинике было пролечено 3538 стационарных и 20140 амбулаторных больных. Через неё прошли 55 врачей, причем лишь двое из них занимали штатные должности ассистентов (И. П. Коровин и В. Ф. Якубович). Под руководством Н. И. Быстрова защищены 22 диссертации на степень доктора медицины.
Автор более 50-ти научных работ о лечении детских болезней, гигиене и патологии детского возраста; первый в Российской империи профессор-педиатр. Один из основателей и ординарный профессор первой в России кафедры детских болезней при Императорской Военно-медицинской академии, первый детский клинический фармаколог, разработчик методологии преподавания педиатрии в высшей школе. Инициатор, один из организаторов (1885 г.) и председатель первого в России Общества детских врачей.